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2015高考真题——数学(江苏卷)Word版含答案

2020-04-27 10:42:32


数学Ⅰ试题
参考公式
圆柱的体积公式:=Sh,其中S是圆柱的底面积,h为高。
圆锥的体积公式: Sh,其中S是圆锥的底面积,h为高。
一、 填空题:本大题共14个小题,每小题5分,共70分.请把答案写在答题卡相应位置上。
1. 已知集合,,则集合中元素的个数为_______.
2. 已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为________.
3. 设复数z满足(i是虚数单位),则z的模为_______.
4. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为________.

5. 袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球,1只红球,2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为________.
6. 已知向量=(2,1),=(1,-2),若=(9,-8)(m,nR),则的值为______.
7. 不等式的解集为________.
8.已知,,则的值为_______.
9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为          。
10.在平面直角坐标系中,以点为圆心且与直线相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为          。
11.数列满足,且(),则数列前10项的和为          。
12.在平面直角坐标系中,为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于c恒成立,则是实数c的最大值为          。
13.已知函数,,则方程实根的个数为          。
14.设向量,则的值为          。
二、解答题 (本大题共6小题,共90分.请在答题卡制定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 
15.(本小题满分14分)
在中,已知
 (1)求BC的长;
(2)求的值。
16.(本小题满分14分)
如图,在直三棱柱中,已知.设的中点为D,
求证:(1)
   (2)

17. (本小题满分14分)
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到的距离分别为5千米和40千米,点N到的距离分别为20千米和2.5千米,以所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数(其中a,b为常数)模型.

(I)求a,b的值;
(II)设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.
     ①请写出公路l长度的函数解析式,并写出其定义域;
     ②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.
18. (本小题满分16分)
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.

(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.
19.(本小题满分16分)
已知函数。
(1)试讨论的单调性;
(2)若(实数c是与a无关的常数),当函数有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是,求c的值。
20.设是各项为正数且公差为d的等差数列
(1)证明:依次构成等比数列;
(2)是否存在,使得依次构成等比数列?并说明理由;
(3)是否存在及正整数,使得依次构成等比数列?并说明理由。

数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.
1.2              2.6           3.                   4.7          5.                6.-3           7.          8.3           9.        10.     11.          12.    13.4        14. 

二、解答题
15.本小题主要考查余弦定理、正弦定理,同角三角函数关系与二倍角公式,考查运算求解能力.满分14分。
解:
(1)由余弦定理知,,
所以.
(2)由正弦定理知,,所以.
因为,所以为锐角,则.
因此.
16.本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分。
证明:(1)由题意知,为的中点,
又为的中点,因此.
又因为平面,平面,
所以平面.
(2)因为棱柱是直三棱柱,
所以平面.
因为平面,所以.
又因为,平面,平面,,
所以平面.
又因为平面,所以.
因为,所以矩形是正方形,因此.
因为,平面,,所以平面.
又因为平面,所以.
17. 本小题主要考查函数的概念、导数的几何意义及其应用,考查运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.满分14分.
解:(1)由题意知,点,的坐标分别为,.
将其分别代入,得,
解得.
(2)①由(1)知,(),则点的坐标为,
设在点处的切线交,轴分别于,点,,
则的方程为,由此得,.
故,.
②设,则.令,解得.
当时,,是减函数;
当时,,是增函数.
从而,当时,函数有极小值,也是最小值,所以,
此时.
答:当时,公路的长度最短,最短长度为千米.
18.本小题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线的方程、直线与直线、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查分析问题及运算求解能力.满分16分.
(1)由题意,得且,
解得,,则,
所以椭圆的标准方程为.
(2)当轴时,,又,不合题意.
当与轴不垂直时,设直线的方程为,,,
将的方程代入椭圆方程,得,
则,的坐标为,且

若,则线段的垂直平分线为轴,与左准线平行,不合题意.
从而,故直线的方程为,
则点的坐标为,从而.
因为,所以,解得.
此时直线方程为或.

19.本小题主要考查利用导数研究初等函数的单调性、极值及零点问题,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力.满分16分。
解:(1),令,解得,.
当时,因为(),所以函数在上单调递增;
当时,时,,时,,
所以函数在,上单调递增,在上单调递减;
当时,时,,时,,
所以函数在,上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)知,函数的两个极值为,,则函数有三个
零点等价于,从而或.
又,所以当时,或当时,.
设,因为函数有三个零点时,的取值范围恰好是
,则在上,且在上均恒成立,
从而,且,因此.
此时,,
因函数有三个零点,则有两个异于的不等实根,
所以,且,
解得.
综上.
20.本小题主要考查等差数列、等比数列的定义和性质,函数与方程等基础知识,考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识研究与解决问题的能力.满分16分.
解:(1)证明:因为(,,)是同一个常数,
所以,,,依次构成等比数列.
(2)令,则,,,分别为,,,(,,).
假设存在,,使得,,,依次构成等比数列,
则,且.
令,则,且(,),
化简得(),且.将代入()式,
,则.
显然不是上面方程得解,矛盾,所以假设不成立,
因此不存在,,使得,,,依次构成等比数列.
(3)假设存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列,
则,且.
分别在两个等式的两边同除以及,并令(,),
则,且.
将上述两个等式两边取对数,得,
且.
化简得,
且.
再将这两式相除,化简得().
令,
则.
令,
则.
令,则.
令,则.
由,,
知,,,在和上均单调.
故只有唯一零点,即方程()只有唯一解,故假设不成立.
所以不存在,及正整数,,使得,,,依次构成等比数列.















数学Ⅱ(附加题)

21、 (选做题)本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两小题,并在相应的区域内作答,若多做,则按作答的前两小题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A、 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,在中,,的外接圆O的弦交于点D
求证:

B、选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知,向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量,求矩阵以及它的另一个特征值。

C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)
已知圆C的极坐标方程为,求圆C的半径.
D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)
解不等式

22.如图,在四棱锥中,已知平面,且四边形为直角梯形,,
 (1)求平面与平面所成二面角的余弦值;
(2)点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成角最小时,求线段BQ的长



23.(本小题满分10分)
已知集合,设,令表示集合所含元素的个数.
(1)写出的值;
(2)当时,写出的表达式,并用数学归纳法证明。


21.[选做题] 
A.(选修4-1:几何证明选讲)
本小题主要考查圆的基本性质和相似三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分10分。
证明:因为,所以.
又因为,所以,
又为公共角,可知∽.

B[选修4-2:矩阵与变换]
本小题主要考查矩阵的特征值与特征向量的概念等基础知识,考查运算求解能力.满分10分。
解:由已知,得,即,
则,即,所以矩阵.
从而矩阵的特征多项式,所以矩阵的另一个特征值为.
C[选修4-4:坐标系与参数方程]
本小题主要考查圆的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化等知识,考查运算求解能力.满分10分。
解:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点,以极轴为轴的正半轴,建立直角坐标系.
圆的极坐标方程为,
化简,得.
则圆的直角坐标方程为,
即,所以圆的半径为.

D[选修4-5:不等式选讲]
本小题主要考查含绝对值不等式的解法,考查分类讨论的能力。满分10分。
解:原不等式可化为或.
解得或.
综上,原不等式的解集是.
22.【必做题】本小题主要考查空间向量、二面角和异面直线所成角等基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分。
解:以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,
则各点的坐标为,,,.
(1)因为平面,所以是平面的一个法向量,.
因为,.
设平面的法向量为,则,,即.
令,解得,.
所以是平面的一个法向量.
从而,所以平面与平面所成二面角的余弦值为.
(2)因为,设(),
又,则,又,
从而.
设,,则.
当且仅当,即时,的最大值为.
因为在上是减函数,此时直线与所成角取得最小值.
又因为,所以.
23.【必做题】本题主要考查计数原理、数学归纳法等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力,满分10分。
解:(1).
(2)当时,().
下面用数学归纳法证明:
①当时,,结论成立;
②假设()时结论成立,那么时,在的基础上新增加的元素在,,中产生,分以下情形讨论:
1)若,则,此时有
,结论成立;
2)若,则,此时有
,结论成立;
3)若,则,此时有
,结论成立;
4)若,则,此时有

,结论成立;
5)若,则,此时有

,结论成立;
6)若,则,此时有

,结论成立.
综上所述,结论对满足的自然数均成立.