当前位置: 首页 高考统招 高考真题 2015高考真题——数学文(四川卷)Word版含答案

2015高考真题——数学文(四川卷)Word版含答案

2020-06-18 07:37:38


2015年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(文科)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1、设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},则A∪B=
  (A){x|-1<x<3}    (B){x|-1<x<1}      (C){x|1<x<2}       (D){x|2<x<3}
2、设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=
  (A)2               (B)3                 (C)4                (D)6
3、某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异,拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查,则最合理的抽样方法是
  (A)抽签法          (B)系统抽样法        (C)分层抽样法       (D)随机数法
4、设a,b为正实数,则"a>b>1"是"log2a>log2b>0"的
  (A)充要条件                             (B)充分不必要条件      
  (C)必要不充分条件                       (D)既不充分也不必要条件
5、下列函数中,最小正周期为π的奇函数是
  (A)y=s(2x+)                        (B)y=cos(2x+)
  (C)y=s2x+cos2x                       (D)y=sx+cosx
6、执行如图所示的程序框图,输出S的值为
  (A)-           (B) 
  (C)-            (D) 
  
7、过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则=
  (A)             (B)2            (C)6                (D)4
8、某食品保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:℃)满足函数关系y=etx (e=2.718...为自然对数的底数,t,b为常数)。若该食品在0℃的保鲜时间是192小时,在22℃的保鲜时间是48小时 ,则该食品在33℃的保鲜时间是
  (A)16小时            (B)20小时         (C)24小时           (D)28小时
9、设实数x,y满足,则xy的最大值为
  (A)               (B)             (C)12              (D)16
10、设直线l与抛物线y2=4x相较于A,B两点,与圆(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是
  (A)(1,3)             (B)(1,4)            (C)(2,3)           (D)(2,4)
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分。
11、设i是虚数单位,则复数=_____________.
12、lg0.01+log216=_____________.
13、已知sα+2cosα=0,则2s.a.cosα-cos2α的值是______________.
14、在三棱住ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-N的体积是______.
15、已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1,x2,设m=,n=,现有如下命题:
(1)对于任意不相等的实数x1,x2,都有m>0;
(2)对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n>0;
(3)对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;
(4)对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n。
其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号)。
三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16、(本小题满分12分)
设数列(n=1,2,3...)的前n项和满足=2-,且,+1,成等差数列。
(I) 求数列的通项公式;
(II) 设数列的前n项和为,求. 



17、(本小题满分12分)
一辆小客车上有5各座位,其座位号为1,2,3,4,5,乘客的座位号分别为1,2,3,4,5,他们按照座位号顺序先后上车,乘客因身体原因没有坐自己的1号座位,这时司机要求余下的乘客按以下规则就坐:如果自己的座位空着,就只能坐自己的座位。如果自己的座位已有乘客就坐,就在这5个座位的剩余空位中选择座位.
(I)若乘客坐到了3号座位,其他乘客按规则就座,则此时共有4种坐法。下表给出其中两种坐法,请填入余下两种坐法(将乘客就坐的座位号填入表中空格处)

(II)若乘客坐到了2号座位,其他乘客按规则就坐,求乘客坐到5号座位的概率。


18、(本小题满分12分)
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示。
(I) 请按字母F,G,H标记在正方体相应地顶点处(不需要说明理由)
(II) 判断平面BEG与平面ACH的位置关系。并说明你的结论。
(III) 证明:直线DF平面BEG



19、(本小题满分12分)
已知A、B、C为ABC的内角,tB是关于方程(pR)两个实根.
(I) 求C的大小
(II) 若AB=1,AC=,求p的值





20、(本小题满分13分)
如图,椭圆E:(>>0)的离心率是,点(0,1)在短轴CD上,且
(I) 求椭圆E的方程;
(II) 设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点。是否存在常数,使得为定值?若存在,求的值;若不存在,请说明理由。



21、(本小题满分14分)
已知函数f(x)=,其中a>0.
(I) 设g(x)为f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;
(II) 证明:存在a(0,1),使得f(x)g(x).




































数学(文史类)试题参考答案
一、 选择题
1A   2.B   3.C   4.A   5.B   6.D   7.D   8.C   9.A   10.D
二、 填空题
11.2i    12. 2    13.-1    14.        15.①④
 
三、 解答题


 16. 本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n项和等基础知识,考查运算求解能力.
(Ⅰ) 由已知Sn=-a1,有
=Sn-Sn-1=--1(n≥2)
即=-1(n≥2)
从而a2=2a1,a3=2a2=4a1,
又因为a1,a2+1,a3成等差数列
即a1+a3=2(a2+1)
所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2
所以,数列{}是首项为2,公比为2的等比数列
故=.
         (Ⅱ)由(Ⅰ)得
         所以Tn=


17. 本题主要考查随机事件的概率、古典概型等概念及相关计算,考查运用概率知识与方法分析和解决问题的能力,考查推理论证能力、应用意识.
(I)余下两种坐法如下表所示
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1
(II)若乘客P1做到了2号座位,其他乘客按规则就坐
则所有可能坐法可用下表表示为
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1 于是,所有可能的坐法共8种
设"乘客P5坐到5号座位"为事件A,则事件A中的基本事件的个数为4
所以P(A)=
答:乘客P5坐到5号座位的概率为.



18. 本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行与垂直的判定与性质等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力.
(I)点F,G,H的位置如图所示

(II)平面BEG∥平面ACH.证明如下
因为ABCD-EFGH为正方体,所以BC∥FG,BC=FG
又FG∥EH,FG=EH,所以BC∥EH,BC=EH
于是BCEH为平行四边形
所以BE∥CH
又CH平面ACH,BE平面ACH,
所以BE∥平面ACH
同理BG∥平面ACH
又BE∩BG=B
所以平面BEG∥平面ACH
(Ⅲ)连接FH
因为ABCD-EFGH为正方体,所以DH⊥平面EFGH
因为EG平面EFGH,所以DH⊥EG
又EG⊥FH,EG∩FH=O,所以EG⊥平面BFHD
又DF平面BFDH,所以DF⊥EG
同理DF⊥BG
又EG∩BG=G
所以DF⊥平面BEG.



19.
本题主要考查和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.
(I)由已知,方程x2+px-p+1=0的判别式
△=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0
所以p≤-2或p≥
由韦达定理,有tA+tB=-p,tAtB=1-p
于是1-tAtB=1-(1-p)=p≠0
从而t(A+B)=
所以tC=-t(A+B)=
所以C=60°
(II)由正弦定理,得
sB=
解得B=45°或B=135°(舍去)
于是A=180°-B-C=75°
则tA=t75°=t(45°+30°)=
所以p=-(tA+tB)=-(2++1)=-1-



20. 本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证呢过能留、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
(I)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b)
又点P的坐标为(0,1),且=-1
于是,解得a=2,b=
所以椭圆E方程为.
(II)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1
A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
联立,得(2k2+1)x2+4kx-2=0
其判别式△=(4k)2+8(2k2+1)>0
所以
从而=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]
=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1

=-
所以,当λ=1时,-=-3
此时,=-3为定值
当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD
此时=-2-1=-3
故存在常数λ=-1,使得为定值-3.


21. 本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想.
(I)由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞)
  g(x)=f '(x)=2(x-1-x-a)
所以g'(x)=2-
当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减
当x∈(1,+∞)时,g'(x)>),g(x)单调递增
(II)由f '(x)=2(x-1-x-a)=0,解得a=x-1-x
 令Φ(x)=-2xx+x2-2x(x-1-x)+(x-1-x)2=(1+x)2-2xx
则Φ(1)=1>0,Φ(e)=2(2-e)<0
于是存在x0∈(1,e),使得Φ(x0)=0
 令a0=x0-1-x0=u(x0),其中u(x)=x-1-x(x≥1)
 由u'(x)=1-≥0知,函数u(x)在区间(1,+∞)上单调递增
 故0=u(1)<a0=u(x0)<u(e)=e-2<1
 即a0∈(0,1)
 当a=a0时,有f '(x0)=0,f(x0)=Φ(x0)=0
 再由(I)知,f '(x)在区间(1,+∞)上单调递增
 当x∈(1,x0)时,f '(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0
 当x∈(x0,+∞)时,f '(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0
 又当x∈(0,1]时,f(x)=(x-a0)2-2xx>0
 故x∈(0,+∞)时,f(x)≥0
 综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.