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2015高考真题——数学文(安徽卷)Word版含答案

2020-04-24 17:20:06


2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)
数学(文科)

一、 选择题
1. 设i是虚数单位,则复数
(A)3+3i      (B)-1+3i       (3)3+i       (D)-1+i
2. 设全集,,,则
(A)       (B)       (C)       (D)
3. 设p:x<3,q:-1(A) 充分必要条件          (B)充分不必要条件
(C)必要不充分条件        (D)既不充分也不必要条件
4. 下列函数中,既是偶函数又存在零点的是
(A) y=x      (B)        (C)y=sx        (D)y=cosx
5. 已知x,y满足约束条件,则z=-2x+y的最大值是
(A) -1       (B)-2         (C)-5         (D)1
6. 下列双曲线中,渐近线方程为的是
(A)         (B)
(C)         (D)
7. 执行如图所示的程序框图(算法流程图),输出的n为

(A)3       (B)4        (C)5         (D)6
8. 直线3x+4y=b与圆相切,则b的值是
(A) -2或12       (B)2或-12        (C)-2或-12       (D)2或12
9. 一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是

(A)      (B)      (C)     (D)
10. 函数的图像如图所示,则下列结论成立的是

(A) a>0,b<0,c>0,d>0
(B)a>0,b<0,c<0,d>0
(C)a<0,b<0,c>0,d>0
(D)a>0,b>0,c>0,d<0

二;填空题
(11)           。
(12)在中,,,,则              。
(13)已知数列中,,(),则数列的前9项和等于            。
(14)在平面直角坐标系中,若直线与函数的图像只有一个交点,则的值为             。
(15)是边长为2的等边三角形,已知向量满足,,则下列结论中正确的是             。(写出所有正确结论得编号)
①为单位向量;②为单位向量;③;④;⑤。

三.解答题
16.已知函数
(1)求的最小正周期;
(2)求在区间上的最大值和最小值.
17.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图所示),其中样本数据分组区间为

(1)求频率分布图中的值;
(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;
(3)从评分在的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在的概率.



18.已知数列是递增的等比数列,且
(1)求数列的通项公式;
(2)设为数列的前n项和,,求数列的前n项和。
19.如图,三棱锥P-ABC中,PA平面ABC,.
(1)求三棱锥P-ABC的体积;
(2)证明:在线段PC上存在点M,使得,并求的值。


20.设椭圆E的方程为点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足直线OM的斜率为。
(1)求E的离心率e;
(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,证明:AB。




21.已知函数
(1) 求的定义域,并讨论的单调性;
(2) 若,求在内的极值。











数学(文科)试题参考答案
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分50分。
   (1).C   (2).B   (3).C   (4).D   (5).A   (6).A   (7).B   (8).D   (9).C   (10).A
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分25分。
   (11).-1   (12).2   (13).27   (14).   (15). ①④⑤ 
三.解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡上的指定区域内。
   (16)(本小题满分12分)
         解:(1)因为=s2x+cos2x+2s xcos x+cos2x=1+s2x+cos2x=s(2x+)+1,
所以函数f(x)的最小正周期为T==。
            (2)由(1)的计算结果知,= s(2x+)+1.
                 当x时,,
                 由正弦函数在上的图像知,
                 当2x+=,即时,取最大值+1;
                 当2x+=,即x=时,取最小值0。
                 综上,在上的最大值为+1,最小值为0。
    (17)(本小题满分12分)
          解:(1)因为,所以。
             (2)由所给频率分布直方图可知,50名受访职工评分不低于80的频率为
,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4。
             (3)受访职工中评分在[50,,60)的有:50×0.006×10=3(人),记为A1,A2,A3;
受访职工中评分在[40, 50)的有:50×0.004×10=2(人),记为B1,B2。从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10中,它们是{ A1,A2},{ A1,A3},{ A1,B1},{ A1,B2},{ A2,A3},{ A2,B1},{ A2,B2},{ A3,B1},{ A3,B2},{ B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40, 50)的结果只有1种,即{ B1,B2},故所求的概率为。
     (18)(本小题满分12分)
         解:(1)由题设知,又,可解得或(舍去)。由得公比=2,故=2。
            (2),又,所以

     (19)(本小题满分13分)
          (1)解:由题设AB=1,AC=2,=60°,可得=。
由平面ABC,可知PA是三棱形P-ABC的高,又PA=1,所以三棱形P-ABC的体积

          (2)证:在平面ABC内,过点B作AC,垂足为N。在平面PAC内,过点N作PA交PC于点M,连接。由PA平面ABC知PAAC,所以AC。由于=N,故AC平面,又平面,所以。

在直角中,=ABcosBAC=,从而NC==。由PA,得。
      (20)(本小题满分13分)
            (1)解:由题设条件知,点M的坐标为,又,从而。进而。
            (2)证:由N是AC的中点知,点N的坐标为(),可得=。又=(-a,b),从而有=。
        由(1)的计算结果可知a2=5b2,所以=0,故AB。
      (21)(本小题满分13分)
            解:(1)由题意知,所求的定义域为。
                    ,
                    ,
                    所以当x<-r或x>r时,<0,当-r0,
                    因此,的单调递减区间为,;的单调递增区间为(-r,r)。
                (2)由(1)的解答可知=0,在(0,r)上单调递增,在(r,+)上单调递减。因此,x=r是的极大值点,所以在(0,+)内的极大值为。