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2015高考真题——数学文(上海卷)Word版含答案

2020-06-24 01:04:36


2015年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)文
2015年上海市文科试题
一.填空题(本大题共14小题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分)
1.函数的最小正周期为.
2.设全集.若集合,,则.
3.若复数满足,其中是虚数单位,则.
4.设为的反函数,则.
5.若线性方程组的增广矩阵为解为,则.
6.若正三棱柱的所有棱长均为,且其体积为,则.
7.抛物线上的懂点到焦点的距离的最小值为1,则.
8. 方程的解为.
9.若满足,则目标函数的最大值为.
10. 在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为          (结果用数值表示).
11.在的二项式中,常数项等于         (结果用数值表示).
12.已知双曲线、的顶点重合,的方程为,若的一条渐近线的斜率是的一条渐近线的斜率的2倍,则的方程为         
13.已知平面向量、、满足,且,则的最大值是     
14.已知函数.若存在,,,满足,且,则的最小值为        

二.选择题(本大题共4小题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分.
15. 设、,则"、均为实数"是"是实数"的(    ).
    A. 充分非必要条件                            B.必要非充分条件
    C.充要条件                                   D.既非充分又非必要条件
16. 下列不等式中,与不等式解集相同的是(    ).
    A.                           B. 
    C.                              D. 
17. 已知点 的坐标为,将绕坐标原点逆时针旋转至,则点的纵坐标为(    ).
  A.                                           B.  
  C.                                             D. 
18. 设是直线与圆在第一象限的交点,则极限(    ).
  A.                                               B. 
  C.                                                 D.  

三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
    如图,圆锥的顶点为,底面圆为,底面的一条直径为,为半圆弧的中点,为劣弧的中点,已知,求三棱锥的体积,并求异面直线和所成角的大小.


20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
  已知函数,其中为常数
(1)根据的不同取值,判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)若,判断函数在上的单调性,并说明理由.

21. (本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.
  如图,三地有直道相通,千米,千米,千米,现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地,经过小时,他们之间的距离为(单位:千米).甲的路线是,速度为千米/小时,乙的路线是,速度为千米/小时,乙到达Q地后在原地等待.设时,乙到达地,时,乙到达地.
  (1)求与的值;
  (2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当时,求的表达式,并判断在上的最大值是否超过3?说明理由.

22. (本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.
  已知椭圆,过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、,记的面积为.
  (1)设,用、的坐标表示点到直线的距离,并证明;
  (2)设,,,求的值;
     (3)设与的斜率之积为,求的值,使得无论和如何变动,面积保持不变.
23. (本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分, 第3小题满分8分.
  已知数列与满足.
  (1)若且,求的通项公式;
  (2)设的第项是最大项,即,求证:的第项是最大项;
  (3)设,,求的取值范围,使得对任意,,且

答案
一、(第1题至第14题)
1.     2.{1.4}   3.        4.        5.16         6. 4      7. 2     8. 2      

 9. 3     10. 120          11.240        12.       13.       14.8
二、(第15题至第18题)
15 .A   16.B     17.D      18.A
三、(第19题至第23题)
19.[解] 
因为,所以为异面直线与所成的角或其补角
由,得,
在中,由余弦定理得,故异面直线与所成的角的大小为
20.[解](1)的定义域为,关于原点对称,

当时,为奇函数
当时,由,知,故即不是奇函数也不是偶函数。
(2)设,则

由,得>0,  2<<4,   1<<4,
,又1<<3,所以2<<12,
得->0,从而>0,即,故当时,
在[1,2]上单调递增。

21.[解](1)
记乙到P时甲所在地为R,则OR=千米。
在中,PR2=OP2+OR22OP・ORcosO,所以(千米)
(2),
如图建立平面直角坐标系。设经过小时,甲、乙所在位置分别为M,N.

当时,

在上的最大值是,不超过3

22.[证](1)直线:,点到的距离

因为,
所以.
[解](2)由,得
由(1),
由题意,,解得或-1

[解](3)设:,则:. 
设,
由,得
同理、
由(1),
=,
整理得
由题意知S与k无关,则,得,所以
23.[解](1)由,得,
所以是首项为1,公差为6的等差数列,
故的通项公式为=,
[证](2)由,得
所以为常数列,,即
因为,,所以,即 
故的第项是最大项
[解](3)因为,所以,
当时,+...+
       =  ...
       =  
当时,,符合上式
所以
因为<0,且对任意,,故<0,特别地<0
于是
此时对任意,
当<<0时,,由指数函数的单调性知,
           
的最大值为,最小值为,由题意,的最大值及最小值分别为
。由及<6,解得
综上所述,的取值范围为.