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2016年高考浙江卷理数试题(含答案)

2020-04-24 17:45:12


2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)
数学(理科)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。
1.已知集合P=,Q=,则P=
  A.[2,3]     B.(-2,3]     C.[1,2)    D.
2.已知互相垂直的平面交于直线l,若直线m,n满足,则
  A.B. C. D.
3.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则=
  A.   B.4        C.  D.6
4.命题"使得"的否定形式是
  A.使得       B.使得
  C.使得       D.使得
5.设函数,则的最小正周期
  A.与b有关,且与c有关              B.与b有关,但与c无关
  C.与b无关,且与c无关              D.与b无关,但与c有关
6.如图,点列分别在某锐角的两边上,且
,,
,.
(表示点P与Q不重合)
  若,为的面积,则
  A.是等差数列B.是等差数列
 C.是等差数列D.是等差数列
7.已知椭圆与双曲线的焦点重合,分别为的离心率,则
  A.且 B.且
  C.且   D.且
8.已知实数.
  A.若则
  B.若则
  C.若则
  D.若则

二、填空题:本大题共7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分。
9.若抛物线上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.
10.已知,则A=,b=.
11.某几何体的三视图如图所示(单位:),则该几何体的表面积是2,体积是
3.
12.已知,若,则a=,b=.
13.设数列的前n项和为,若
,则=,=.
14.如图,在中,AB=BC=2,.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD的体积的最大值是.
15.已知向量a,b,=1,=2,若对任意单位向量e,均有|a・+|b・,则a・b的最大值是.

三、解答题:本大题共5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
16.(本题满分14分)在中,内角所对的边分别为,已知
(Ⅰ)证明:
(Ⅱ)若的面积,求角A的大小. 





17.(本题满分15分)如图,在三棱台中,已知平面BCFE平面ABC,,,,,
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的余弦值.










18. (本题满分15分)设,函数,
其中
(Ⅰ)求使得等式成立的x的取值范围
(Ⅱ)(i)求的最小值
  (ii)求在上的最大值  







19.(本题满分15分)如图,设椭圆C:
(Ⅰ)求直线被椭圆截得到的弦长(用a,k表示)
(Ⅱ)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有三个公共点,求椭圆的离心率的取值范围.





20、(本题满分15分)设数列满足,
(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若,,证明:,. 


浙江数学(理科)试题
参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分.
1.B    2.C   3.C    4.D    5.B    6.A   7.A   8.D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.多空题每题6分,单空题每题4分,满分16分.
9.9              10.    11.72,32    12.4,2    13.1,121      14.     15. 
三、解答题:本大题共5小题,共74分。
16.本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力。满分14分。
(I)由正弦定理得,
故,
于是.
又,,故,所以
或,
因此(舍去)或,
所以,.
(II)由得,故有

因,得.
又,,所以.
当时,;
当时,.
综上,或.
17.本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。
(I)延长,,相交于一点,如图所示.
因为平面平面,且,所以,
平面,因此,

又因为,,,所以
为等边三角形,且为的中点,则

所以平面.

(II)方法一:
过点作,连结.
因为平面,所以,则平面,所以.
所以,是二面角的平面角.
在中,,,得.
在中,,,得.
所以,二面角的平面角的余弦值为.
方法二:
如图,延长,,相交于一点,则为等边三角形.
取的中点,则,又平面平面,所以,平面.
以点为原点,分别以射线,的方向为,的正方向,
建立空间直角坐标系.
由题意得
,,,
,,.
因此,
,,.
设平面的法向量为,平面的法向量为.
由,得,取;
由,得,取.
于是,.
所以,二面角的平面角的余弦值为.

 18.本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识。同时考查推理论证能力,分析问题和解决问题的能力。满分15分。
(I)由于,故
当时,,
当时,.
所以,使得等式成立的的取值范围为

(II)(i)设函数,,则
,,
所以,由的定义知,即

(ii)当时,

当时,

所以,

19.本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(I)设直线被椭圆截得的线段为,由得


,.
因此

(II)假设圆与椭圆的公共点有个,由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点,,满足

记直线,的斜率分别为,,且,,.
由(I)知,
,,


所以.
由于,,得

因此
,    ①
因为①式关于,的方程有解的充要条件是

所以

因此,任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为

由得,所求离心率的取值范围为.
20.本题主要考查数列的递推关系与单调性、不等式性质等基础知识,同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力。满分15分。
(I)由得,故
,,
所以



因此

(II)任取,由(I)知,对于任意,







从而对于任意,均有

由的任意性得.             ①
否则,存在,有,取正整数且,则

与①式矛盾.
综上,对于任意,均有.