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2016年高考天津卷文数试题(含答案)

2020-05-21 04:22:39


2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数   学(文史类)

本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第I卷

注意事项:
1、每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分
参考公式:
如果事件 A,B 互斥,那么              ・如果事件 A,B 相互独立,
 P(A∪B)=P(A)+P(B).                       P(AB)=P(A) P(B).
柱体的体积公式V 柱体=Sh,             圆锥的体积公式V =Sh 
其中 S 表示柱体的底面积其中           其中S表示锥体的底面积,h表示圆锥的高.
h 表示棱柱的高.

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)已知集合,,则=
(A) (B) (C) (D)
(2)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为
   (A) (B) (C) (D)

(3)将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为


(4)已知双曲线的焦距为,且双曲线的一条渐近线与直线垂直,则双曲线的方程为
 (A)       (B)
 (C)     (D)
(5)设,,则""是""的
 (A)充要条件             (B)充分而不必要条件
 (C)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)已知是定义在上的偶函数,且在区间上单调递增,若实数满足,则的取值范围是
 (A) (B)   (C)   (D)
(7)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为 
 (A) (B) (C) (D)
(8)已知函数,.若在区间内没有零点,则的取值范围是
 (A)        (B)   (C)   (D)
第Ⅱ卷
注意事项:
1、用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.
2、本卷共12小题,共计110分.
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)i是虚数单位,复数满足,则的实部为_______. 
(10)已知函数为的导函数,则的值为__________.
(11)阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为_______.

(第11题图)
(12)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点在圆C上,且圆心到直线的距离为,则圆C的方程为__________.
(13)如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为__________.

(14) 已知函数在R上单调递减,且关于x的方程恰有两个不相等的实数解,则的取值范围是_________.


(15)(本小题满分13分)
在中,内角所对应的边分别为a,b,c,已知.
(Ⅰ)求B;
(Ⅱ)若,求sC的值



(16)(本小题满分13分)
某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙中肥料所需三种原料的吨数如下表所示:

现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y不是生产甲、乙两种肥料的车皮数.
(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; 
(Ⅱ)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.






(17)(本小题满分13分)
如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED⊥平面ABCD,|AB,AB=2,BC=EF=1,AE=,DE=3,∠BAD=60o,G为BC的中点.
(Ⅰ)求证:|平面BED;
(Ⅱ)求证:平面BED⊥平面AED;
(Ⅲ)求直线EF与平面BED所成角的正弦值.




(18)(本小题满分13分)
已知是等比数列,前n项和为,且.
(Ⅰ)求的通项公式;
(Ⅱ)若对任意的是和的等差中项,求数列的前项和.

(19)(本小题满分14分)
设椭圆()的右焦点为,右顶点为,已知,其中为原点,为椭圆的离心率.
(Ⅰ)求椭圆的方程; 
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点,若,且,求直线的斜率.

(20)(本小题满分14分)
设函数,,其中
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:;
(Ⅲ)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于.



2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数   学(文史类)
第I卷

一、选择题:
(1)【答案】A
(2)【答案】A
(3)【答案】B
(4)【答案】A
(5)【答案】C
(6)【答案】C
(7)【答案】B
(8)【答案】D
第Ⅱ卷
二、填空题:
(9)【答案】1
(10)【答案】3
(11)【答案】4
(12)【答案】
(13)【答案】
 (14) 【答案】
三、解答题
(15)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用正弦定理,将边化为角:,再根据三角形内角范围化简得,(Ⅱ)已知两角,求第三角,利用三角形内角和为,将所求角化为两已知角的和,再根据两角和的正弦公式求解
试题解析:(Ⅰ)解:在中,由,可得,又由得,所以,得;
(Ⅱ)解:由得,则,所以
考点:同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【结束】
 (16)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)生产甲种肥料车皮,乙种肥料车皮时利润最大,且最大利润为万元
【解析】
试题分析:(Ⅰ)根据生产原料不能超过A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,列不等关系式,即可行域,再根据直线及区域画出可行域(Ⅱ)目标函数为利润,根据直线平移及截距变化规律确定最大利润
试题解析:(Ⅰ)解:由已知满足的数学关系式为,该二元一次不等式组所表示的区域为图1中的阴影部分.


(Ⅱ)解:设利润为万元,则目标函数,这是斜率为,随变化的一族平行直线.为直线在轴上的截距,当取最大值时,的值最大.又因为满足约束条件,所以由图2可知,当直线经过可行域中的点时,截距的值最大,即的值最大.解方程组得点的坐标为,所以.
答:生产甲种肥料车皮,乙种肥料车皮时利润最大,且最大利润为万元.

考点:线性规划
【结束】
 (17) 
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行寻找与论证,往往结合平几知识,如本题构造一个平行四边形:取的中点为,可证四边形是平行四边形,从而得出(Ⅱ)面面垂直的证明,一般转化为证线面垂直,而线面垂直的证明,往往需多次利用线面垂直判定与性质定理,而线线垂直的证明有时需要利用平几条件,如本题可由余弦定理解出,即(Ⅲ)求线面角,关键作出射影,即面的垂线,可利用面面垂直的性质定理得到线面垂直,即面的垂线:过点作于点,则平面,从而直线与平面所成角即为.再结合三角形可求得正弦值
试题解析:(Ⅰ)证明:取的中点为,连接,在中,因为是的中点,所以且,又因为,所以且
,即四边形是平行四边形,所以,又平面,平面,所以平面.
(Ⅱ)证明:在中,,由余弦定理可,进而可得,即,又因为平面平面平面;平面平面,所以平面.又因为平面,所以平面平面.
(Ⅲ)解:因为,所以直线与平面所成角即为直线与平面所成角.过点作于点,连接,又因为平面平面,由(Ⅱ)知平面,所以直线与平面所成角即为.在中,,由余弦定理可得,所以,因此,在中,,所以直线与平面所成角的正弦值为
考点:直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成角
【结束】
 (18) 
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求等比数列通项,一般利用待定系数法:先由解得,分别代入得,(Ⅱ)先根据等差中项得,再利用分组求和法求和:
试题解析:(Ⅰ)解:设数列的公比为,由已知有,解之可得,又由知,所以,解之得,所以.
(Ⅱ)解:由题意得,即数列是首项为,公差为的等差数列.
设数列的前项和为,则
考点:等差数列、等比数列及其前项和
【结束】
(19)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由,得,再利用,可解得,(Ⅱ)先化简条件:,即M再OA中垂线上,,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求;利用两直线方程组求H,最后根据,列等量关系解出直线斜率.
 试题解析:(1)解:设,由,即,可得,又,所以,因此,所以椭圆的方程为.
 (2)设直线的斜率为,则直线的方程为,
 设,由方程组 消去,
 整理得,解得或,
 由题意得,从而,
 由(1)知,设,有,,
 由,得,所以,
 解得,因此直线的方程为,
 设,由方程组 消去,得,
 在中,,
 即,化简得,即,
 解得或,
所以直线的斜率为或.
考点:椭圆的标准方程和几何性质,直线方程
【结束】
(20)
【答案】(Ⅰ)递减区间为,递增区间为,.(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
【解析】
 试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数:,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.②当时,存在三个单调区间(Ⅱ)由题意得即,再由化简可得结论(Ⅲ)实质研究函数最大值:主要比较,的大小即可,分三种情况研究①当时,,②当时,,③当时,.
试题解析:(1)解:由,可得,下面分两种情况讨论:
 ①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.
 ②当时,令,解得或.
 当变化时,、的变化情况如下表:
 
 
                     0     单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增  
 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
 (2)证明:因为存在极值点,所以由(1)知且.
 由题意得,即,
进而,
 又,且,
 由题意及(1)知,存在唯一实数满足,且,因此,
 所以.
 (3)证明:设在区间上的最大值为,表示,两数的最大值,下面分三种情况讨论:
 ①当时,,由(1) 知在区间上单调递减,
 所以在区间上的取值范围为,因此,
 
  所以.
 ②当时,,
 由(1)和(2) 知,,
 所以在区间上的取值范围为,
所以
 .
 ③当时,,由(1)和(2)知,
 ,,
 所以在区间上的取值范围为,因此,
 
 .
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
【结束】